Δημήτριος Κετσέας
MSc ΕΜΠ, MSc ΕΑΠ, Μηχανικός ΣΜΑ
Εισαγωγή
Η πρόβλεψη και κατανόηση της δυναμικής απόκρισης των κατασκευών υπό σεισμική διέγερση αποτελεί κρίσιμο ζητούμενο στη σεισμική μηχανική. Οι σεισμοί είναι μη περιοδικές διεγέρσεις με ευρύ φάσμα συχνοτήτων (Εικ.1), καθιστώντας τις παραδοσιακές χρονικές μεθόδους ανάλυσης ανεπαρκείς. Μέσω της Ανάλυσης Fourier (Fourier Analysis, FA) και ειδικότερα του Ταχέως Μετασχηματισμού Fourier (Fast Fourier Transform, FFT) παρέχεται ένα ισχυρό εργαλείο για τη φασματική αποδόμηση των σεισμικών σημάτων, επιτρέποντας την κατανόηση της συχνοτικής τους συμπεριφοράς και της επίδρασής τους στην δομική απόκριση των κατασκευών. Στο παρόν άρθρο εξετάζεται η χρήση του FFT για την ανάλυση της σεισμικής απόκρισης ενός ταλαντωτή ενός βαθμού ελευθερίας (Single Degree of Freedom, SDOF), ο οποίος αποτελεί απλουστεμένο σχήμα απλής δομικής διάταξης. Η διέγερση του συστήματος είναι βασισμένη σε πραγματικά δεδομένα από τον περίφημο σεισμό της Αθήνας (1999).
Η Ανάλυση Fourier στη Σεισμική Μηχανική
Ο Μετασχηματισμός Fourier επιτρέπει τη μετατροπή ενός σήματος διέγερσης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας, παρέχοντας πληροφορίες για την ενεργειακή του κατανομή [1], [4]. Η φασματική πυκνότητα ισχύος του σήματος επιτρέπει τον εντοπισμό των κυρίαρχων συχνοτήτων, ενώ η εφαρμογή αυτών των μεθόδων στα δεδομένα μιας σεισμικής διέγερσης αποκαλύπτει ποιά συγκεκριμένα συχνοτικά εύρη μπορούν να οδηγήσουν σε υπερδιέγερση της δομής. Η FA πλεονεκτεί άλλων μεθόδων καθώς επιτρέπει την διαχειρίσημη μαθηματική επίλυση στο πεδίο των συχνοτήτων και έπειτα την μεταφορά της λύσης στο πεδίο του χρόνου και την ερμηνεία αυτής σαν μετατόπιση του συστήματος. Υπάρχουν μαθηματικά μοντέλα και υπολογιστικές θεωρήσεις για τον τρόπο που η FA εκτελείται και μία από αυτές πραγματοποιείται μέσω της εφαρμογής του FFT [3]. Στο παρόν, ο FFT εφαρμόζεται στο σεισμικό σήμα της Αθήνας του 1999 (Εικ.2), με αποτέλεσμα τη φασματική αναπαράσταση του σήματος (Εικ.1). Έτσι, παρατηρούμε ότι η σεισμική διέγερση επικεντρώνεται γύρω από συγκεκριμένα εύρη (π.χ. 1–20 Hz).
Από τον Σεισμό στα Δεδομένα: Επιταχυνσιόγραμματα και Σεισμική Διέγερση
Τα επιταχυνσιόμετρα μετρούν τη σεισμική κίνηση του εδάφους σε μορφή χρονοσειρών επιτάχυνσης (επιταχυνσιγράμματα), όπως φαίνεται στην Εικ.2. Δεδομένα πραγματικών σεισμών μπορούν να αντληθούν για επιστημονικούς σκοπούς από βάσεις δεδομένων, όπως η [2], και να εισαχθούν σε υπολογιστικά περιβάλλοντα (π.χ. Python) για φιλτράρισμα, κανονικοποίηση και ανάλυση.
Εφαρμογή σε Μοντέλο SDOF
Για την ανάλυση της απόκρισης, χρησιμοποιείται το κλασικό δυναμικό μοντέλο ενός συστήματος SDOF με γραμμική απόσβεση, όπως απεικονίζεται στην Εικ. 3. Η εξίσωση κίνησης:
όπου η σεισμική διέγερση εισάγεται μέσω της p(t).
Τα αποτελέσματα (μετατόπιση, ταχύτητα, επιτάχυνση) υπολογίζονται με FFT και απρουσιάζονται στην επόμενη παράγραφο.
Αποτελέσματα απόκρισης συστήματος SDOF στον σεισμό της Αθήνας
Τα αποτελέσματα απεικονίζονται στις Εικ. 4,5, όπου παρουσιάζεται η δυναμική απόκριση του συστήματος. Η μετατόπιση φτάνει στα μέγιστα κοντά στην κυρίαρχη συχνότητα και επιτάγχυνση του σεισμού, ενώ η επιρροή της απόσβεσης στην καταστολή των συντονισμών είναι εμφανής.
Με παρόμοιο τρόπο, τέτοιες αναλύσεις μπορούν να εφαρμοστούν και σε πιο σύνθετα πραγματικά κατασκευαστικά συστήματα, όπου οι μετατοπίσεις, οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των κρίσιμων δομικών σημείων χρησιμοποιούνται για να προσδιοριστούν τα όρια ασφαλούς λειτουργίας υπό σεισμική διέγερση [5]. Η φασματική προσέγγιση προσφέρει έτσι ένα ισχυρό εργαλείο εκτίμησης κινδύνου και ενίσχυσης της αντισεισμικής σχεδίασης.
Βιβλιογραφία
[1] J.T. Katsikadelis, Dynamic Analysis of Structures, Elsevier, 2020.
[2] GHEAD – Gis Hellenic Accelograms Database, https://ghead.geo.auth.gr
[3] Cooley, J.W. & Tukey, J.W., “An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series”, Mathematics of Computation, 1965.
[4] Chopra, A.K., Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 5th Ed., Pearson, 2017.
[5] Kalogerakou, S., “Dynamic Analysis of Liquid Storage Tanks Using Spectral Methods”, MSc Thesis, NTUA, 2015.
